ابتكار الطريقة الخوارزمية لحل المعادلات الجبرية

المقدمة

الأهداف التّعليميّة

  • أن يعرف الطّالب أهميّة علم الجبر في التّنمية وحلّ المسائل الصّعبة.
  • أن يؤمن الطّالب بأنّ توارث الحضارات يسهم في ازدهار العلوم وتطورها.
  • أن يعتزّ الطّالب بالإسلام باعتباره من أهمّ المؤثّرات الّتي أسهمت في ازدهار الحضارة الإسلاميّة العربيّة.
  • أن يعتزّ الطّالب بإبداعات المسلمين وابتكاراتهم.
  • أن يقدّر الطّالب جهود العلماء.

الفكرة الإبداعيّة

    قدّم علم الجبر حلولاً تحليليّة وهندسيّة لمعادلات من الدّرجة الثّانية، كما تمّ تطبيق علم الجبر في حسابات الإرث والوصايا والتجارة وفي جميع ما يتعامل به الناس من مساحة الأراضي وغيرها، بحيث تم تأسيس مادة رياضية مستقلة عن الهندسة وعن علم الحساب.

قرن وعصر الاختراع

القرن الثّالث الهجريّ /القرن التّاسع الميلاديّ

عصر الخلافة العبّاسيّة


معلومات العالم

    هو أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزميّ، أصله من خوارزم الفارسيّة والّتي تسمّى حاليًّا "خيوا" في جمهورية (أوزبكستان) بينما البعض ينسبه إلى العراق فقط. ويكنّى الخوارزميّ بأبي جعفر، ويلقّب بالخوارزميّ، ولد سنة (163هـ /780م) وتوفّي سنة (235هـ /850م). يعتبر الخوارزميّ من أوائل علماء الرّياضيّات المسلمين، وقد تتلمذ على يدي كبار المفكرين في بغداد، حيث كانت عائلته قد انتقلت من خوارزم الفارسيّة إلى بغداد في العراق، كما تشير بعض الرّوايات. وقد بوّأه المأمون مسؤولية بيت الحكمة في بغداد، وهي المكتبة الّتي أسّسها المأمون، حيث أنجز معظم أبحاثه هناك، بين عامي 197هـ /813م و 217هـ /833م.

    وقد كلّفه المأمون بجمع وترجمة ما أنجزه السّابقون من علوم وخصوصًا اليونانيّة منها، فضلًا عن تكليفه برسم خريطة للأرض. وقد اطّلع الخوارزميّ على علوم الإغريق وفارس والهند، ونهل من الكتب الّتي كانت متوافرة في خزانة المأمون، وبعد اطّلاعه على علوم الإغريق والهند وفارس وفهمها وهضَمها، عكف على دراسة الرّياضيّات والفلك والجغرافيا والتّاريخ، ونشر كلّ أعماله باللّغة العربيّة لغة العلم في ذلك العصر.

    إنّ كلمة "الجبر" الّتي استخدمها الخوارزميّ في كتابه "الجبر والمقابلة" أعطت العالم أجمع اسم هذا العلم، وما زال هذا الاسم يُستخدم في سائر لغات العالم، وكيف لا وهو الّذي ابتكر هذا العلم للبشريّة، فضلًا عن تبحّره في علم الحساب. وهو بالإضافة إلى تهذيبه وتنقيحه وتشذيبه لأمهات كتب فطاحل علماء اليونان في مختلف العلوم، فقد أثرى خزائن تراثنا العربيّ الإسلاميّ بمؤلفات وبحوث نفسيّة لا تُضارَع في ميادين مختلفة كعلم الهندسة والفلك والجغرافيا والتّاريخ والموسيقى.


إسهامات العالم

    هو مؤسّس علم الجبر بلا منازع، كعلم مستقل عن الحساب، حيث تمّ تطوير هذا العلم على أسس علميّة منطقيّة، وهو أوّل من استعمل كلمة " الجبر" لهذا العلم كما أسلفنا، وما زال يُعرف به إلى الآن، وكان أثره في الحضارة الغربيّة كبيرًا، حيث ابتكر مفهوم الخوارزميّة في الرّياضيّات وعلم الحاسوب (ممّا أعطاه لقب أبي الحاسوب عند البعض). 

    ولا بدّ من الإشارة إلى أنّ كلمة خوارزميّة في العديد من اللّغات (ومنها algorithm) بالإنجليزية جاءت من اسمه، وقد عُرف أنصاره في بعض الأقطار الأوروبيّة، الذين كافحوا كفاحًا مريرًا من أجل نشر طريقته الرّياضيّة، بالخوارزميّين. ومصطلح " الخوارزميّة" يعني إحكام وإتقان خطوات حلّ المسائل الرّياضيّة بطرق علميّة حسابيّة.

    ومن أعماله الّتي تشهد بعبقريّته أنّه استطاع التّنسيق بين الرّياضيّات الهنديّة والإغريقيّة، فمن الهنديّة أدخل نظام الأرقام عوضًا عن الحروف الأبجدية، كما أدخل على الأعداد النّظام العشريّ، واستخدام الصّفر، وهذا إنجاز ما زال العالم يعيش بفضله، ومن أهمّ أعماله أيضًا في حساب المثلّثات: وضعه جداول الجيوب والتّماس، والتّمثيل الهندسيّ للقطوع المخروطيّة. وتطوير علم حساب الخطأين الّذي قاده إلى مفهوم التّفاضل. كما أنّه واضع قواعد البحث العلميّ التجريبيّ الحديث، وذلك باستخدام النّماذج الرّياضيّة.

    لم يقتصر علم الخوارزميّ على مبدَأ واحد من العلوم، فلم تقف إسهاماته الكبرى على الحساب فقط، بل كان له صولة وجولة في علم الجغرافيا، حيث اختصر كتاب (المجسطي) لبطليموس وسمّاه (السّند هند) أي (الدّهر الدّاهر) أو (الخلود)، نظرًا لاحتوائه على معلومات في الفلك والجغرافيا فريدة من نوعها. كما ألّف كتاب (رسم الرّبع المعمور) والّذي ظلّ من أهمّ المراجع الّتي استند عليها علماء العرب والمسلمين، كما كان من أهمّ المصادر الّتي اعتمدها الباحثون، نظرًا لأنّه سطّر فيه معلومات قيّمة عن القارّة الإفريقيّة.

    لقد أتى الخوارزميّ ببحوث جديدة في المثلّثات، كما أبدع في علم الفلك، كذلك استطاع أن يضع جداول فلكيّة (زيجًا) وكان لتلك الجداول (الزيج) أثر كبير على ما تمّ وضعه مستقبلًا من الجداول الّتي وضعها العرب وغيرهم من سائر الأمم، فاعتمدوا وأخذوا منه.


مؤلفات العالم

    كتب الخوارزميّ رسائل قيّمة في خمسة علوم. فهو أوّل عالم مسلم يكتب عن الحساب الهنديّ والأرقام. كما أنّ الخوارزميّ صنّف أقدم مؤلّف عربيّ في الجبر بعنوان (الجبر والمقابلة)، ويعدّ هذا الكتاب أفضل كتاب في مادّة الجبر، إذ جاء في هذا الكتاب حلولًا تحليليّة وهندسيّة لمعادلات من الدّرجة الثّانية، وقد جاء كتاب الخوارزميّ (المختصر في حساب الجبر والمقابلة) تطبيقًا لعلم الجبر في الجانب العلميّ من حياة النّاس، حتّى ينتفعوا منه في موارثيهم وأجيالهم ومقسماتهم وتجاراتهم، كذلك تطرّق إلى ما يختصّ بتقسيم الأراضي وتحديد مساحاتها، وهو الّذي وضع أقدم الجداول المعروفة في حساب المثلّثات.

صفحة من كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة

    واستنادًا إلى مصادر هنديّة وإغريقيّة، استطاع الخوارزميّ أن يصنّف كتابًا في الفلك. وجمع أزياجًا ظلّت قرونًا كثيرة معمولًا بها في جميع البلاد الممتدّة من قرطبة إلى شنغان في الصّين، بعد أن روّجعت في بلاد الأندلس الإسلاميّة، واشترك مع مجموعة من علماء عصره في وضع موسوعة جغرافيّة للخليفة المأمون، وله من الكتب العديد، نذكر منها:

  • الزّيج الأوّل والزّيج الثّاني، وهو المعروف بالسّند هند، والكتاب عبارة عن جداول فلكيّة، ويبحث الكتاب في الخسوف والكسوف نتيجة حركات الكواكب وظهورها واختفائها.
  • كتاب الرّخامة: وهو أشبه ما يكون بالمزولة، إذ هو عبارة عن قطعة من الرّخام تمّ تخطيطها لمعرفة الوقت عن طريق الشّمس، وتساعد تلك الخطوط على ذلك.
  • كتاب العمل بالأسطرلاب: ويعد هذا الكتاب من أهمّ كتب علم الأسطرلاب حيث يوضح كيفيّة عمل الأسطرلاب.

انتشار استخدامات الإسهام في نواحي الحياة

    علم الجبر، يعكس في تعابيره أصول الجبر في المعاملات التّجارية، وفي معالجة متطلبات الدّولة الإسلاميّة في معالجة مسائل معقّدة في المواريث، ومقسّمات النّاس، وأحكام تجارتهم. كما نصّ على ذلك القرآن الكريم، كذلك ضروريّ فيما يختصّ بتقسيم الأراضي وتحديد مساحاتها وفى مختلف مجالات الهندسة.

    وفي عام (539هـ /1145م) قام "روبرت الشستري" (Robert of Chester) بترجمة الجزء الأوّل من كتاب الخوارزميّ إلى اللّاتينّية تحت عنوان (Almucabala, Liber algebra et)، ومن ثمّ بطبيعة الحال كان انتقال كلمة (الجبر) (Algebra) إلى اللّغات الأوروبيّة، وظلّ مستعملًا في المدارس والجامعات الأوروبيّة حتّى القرن العاشر الهجريّ / القرن السّادس عشر الميلاديّ.

    وعلم الجبر، ومعه مصطلح "الخوارزميّة"، دخل في مجالات كثيرة، خاصّة في صناعة كثير من البرمجيّات، المستخدمة في الحواسيب، أو الآلات الحاسبة، أو برمجيات التّحكم الصّناعيّ، أو الذّكاء الآليّ.


مراجع الطالب

مراجع المحتوى
  • سلسلة كتاب الأمة، حول إعادة تشكيل العقل المسلم، الدكتورعماد الدّين خليل.
  • سلسلة عالم المعرفة، لبنات أساسيّة في صرح الحضارة الإسلاميّة، دونالدر هيل، ترجمة د. أحمد فؤاد باشا.
  • موسوعة قصة الحضارة، ول ديورانت، ترجمة محمد بدران.
  • الحضارة العربيّة الإسلاميّة، الجامعة العربيّة المفتوحة.
  • كتاب روّاد علم الجغرافيا، الدّكتور علي بن علي بن عبد الله الدّفاع.
الهدف من النشاط
  • أن يحدد الطّالب النّمط في مجموعة أشكال.
الإعداد للعمل
  • كّون أنت وزملاؤك فريق عمل يضم 4 أشخاص؛ لتوزيع المهامّ فيما بينكم.
  • ناقش أنت وزملاؤك، ما الأرقام النّاقصة في المربعات في المسائل الآتية؟ 

 

البحث العلميّ

    بمساعدة معلّمك قم بالبحث عن معلومات حول الأنماط وفوائدها واستخداماتها، وأين يمكن إيجادها؟
يمكنك الاستعانة بالمصادر التالية:
مكتبة المدرسة، والمكتبة العامة والمجلات العلميّة، بالإضافة إلى الشبكة العنكبوتية (الإنترنت). 

تجهيز الأدوات

بمساعدة معلّمك قم بتجهيز الأدوات اللّازمة للنّشاط، وهي:

مكعبات خشبيّة عدد 10 مثلثّات خشبيّة عدد 10 أسطوانات خشبيّة عدد 10
تركيب الأدوات

بمساعدة معلّمك، وبالتّعاون مع زملائك قم بتركيب الموادّ والأدوات للقيام بالنّشاط:

  • ضع مكعبًا خشبيًّا ومثلثين على التّوالي.
  • أضف أسطوانتين ثم ضع مكعب.

 

تنفيذ التجربة
  • أكمل النّمط حتى نفاد القطع الخشبيّة، سجّل ملاحظاتك.
  • شكّل من النّمط دائرةً، سجل ملاحظاتك.
المناقشة والنتائج
  • بعد أن قمت بالنّشاط والتجّربة، ناقش مع زملائك ومعلمك ملاحظاتك حول النّشاط.
اخترع بنفسك
  • انظر إلى الأشياء من حولك وحدد النّمط فيها وقم بتسميته.
الهدف من النشاط
  • أنْ يبني الطّالب برنامجًا لحلّ معادلة جبرية.
  • أنْ يجد الطّالب جذر المعادلة الجبريّة بوساطة برنامجه الحاسوبيّ.
الإعداد للعمل

    المجالات الّتي يدخل فيها علم الجبر كثيرة جدًّا، لا تعدّ ولا تحصى، ومن المجالات الهامّة الّتي يستخدم فيها هذا العلم، مجال الكمبيوتر، حيث يستخدم في بناء برمجيات لحلّ المعادلات الجبريّة، وهذا التّطور مسخّر للبشريّة.

قال تعالى: ( وَسَخَّرَ لَكُمْ مَا فِي السَّمَاوَاتِ وَمَا فِي الْأَرْضِ جَمِيعاً مِنْهُ إِنَّ فِي ذَلِكَ لَآياتٍ لِقَوْمٍ يَتَفَكَّرُونَ)  (13) الجاثية.

    والمطلوب أن تتفكّر في هذا النّشاط في كيفيّة استخدام برمجيّة ميكروسوفت إكسل (Microsoft Excel) في تحويل مجموعة من درجات الحرارة من سيليسيوس إلى فهرنهايت مستخدمًا العلاقة.

  F  =  1.8 C + 32    ( حيث    "F" تعني فهرنهايت،  "C"  سيليسيوس)، ودوّن الإجابات في الجدول التّالي:

التّسلسل
درجة الحرارة C
 سيليسيوس Celsius
درجة الحرارة 
فهرنهايت  Fahrenheitheat

1

2

3

4

5

صفر

100

30

40

60

 

البحث العلميّ

يمكن الاستعانة بالرّابط التالي:

تجهيز بيئة العمل
  • يتاح للطّالب استخدام حاسوب فيه برمجية ميكروسوفت إكسل (Microsoft Excel) من البرمجيّات الجاهزة.
تنفيذ النشاط
  • افتح ملفًا جديدًا، وسمه درجة الحرارة.
  • افتح ورقة عمل إكسل (Microsoft Excel).
  • أدخل البيانات والصيغ الرّياضيّة اللّازمة عن طريق لوحة المفاتيح.
  • أدخل رقم تسلسل، ودرجة الحرارة (C) سيليسيوس (Celsius).
  • احفظ الإجابة النّاتجة على درجة الحرارة (F) فهرنهايت (Fahrenheit).
  • كرر العمليات 4 و 5 حتى نهاية النشاط.
  • احفظ ورقة العمل.
المناقشة والنتائج
  • هل نفّذت خطوات العمل بدقة؟
  • اكتب خطوات البرنامج الّذي قمت ببنائه لحلّ معادلة جبريّة.
  • قارن بين برنامجك والبرامج الّتي تم تنفيذها من قبل زملائك.
  • هل وجدت جذر المعادلة الجبريّة بوساطة البرنامج الحاسوبيّ؟
  • جهّز ورقة عمل بالنّتائج الّتي حصلت عليها بوساطة البرنامج الحاسوبيّ.
اخترع بنفسك
  • اخترع برنامجًا حاسوبيًا باستخدام برمجية إكسل واستخدم فيه الجبر بحيث يخدم هذا البرنامج المجتمع.